پاسخ فعالیت صفحه 91 ریاضی هفتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 91 - فعالیت 1 این فعالیت به شما کمک می‌کند تا دومین قانون مهم ضرب اعداد توان‌دار را کشف کنید: **قانون ضرب توان‌ها با توان‌های مساوی**. ### ۱. تکمیل عبارت‌ها در این حالت، توان‌ها مساوی هستند. با باز کردن ضرب‌ها، می‌توان پایه‌ها را جابه‌جا کرد و در کنار هم قرار داد. 1. **$۳^۲ \times ۴^۲$:** * $$۳^۲ \times ۴^۲ = (۳ \times ۳) \times (۴ \times ۴)$$ * با جابه‌جایی: $$(۳ \times ۴) \times (۳ \times ۴) = ۱۲ \times ۱۲$$ * $$۳^۲ \times ۴^۲ = (۳ \times ۴)^۲ = ۱۲^۲$$ 2. **$a^۲ \times b^۲$:** * $$a^۲ \times b^۲ = (a \times a) \times (b \times b)$$ * با جابه‌جایی: $$(a \times b) \times (a \times b)$$ * $$a^۲ \times b^۲ = (a \times b)^۲ = (ab)^۲$$ 3. **$$\left(\frac{۱}{۲}\right)^۳ \times ۵^۳$$:** * $$=\left(\frac{۱}{۲}\times \frac{۱}{۲}\times \frac{۱}{۲}\right) \times (۵\times ۵\times ۵)$$ * با جابه‌جایی: $$=\left(\frac{۱}{۲} \times ۵\right) \times \left(\frac{۱}{۲} \times ۵\right) \times \left(\frac{۱}{۲} \times ۵\right)$$ * $$=\left(\frac{۵}{۲}\right)^۳$$ 4. **$x^۲ y^۲$:** * $$x^۲ y^۲ = (x \times x) \times (y \times y) = (x \times y) \times (x \times y)$$ * $$x^۲ y^۲ = (xy)^۲$$ ### ۲. نوشتن قانون کلامی با توجه به تساوی‌های بالا، مشاهده می‌شود که وقتی توان‌ها مساوی هستند، پایه‌ها در هم ضرب شده‌اند و توان مشترک برای حاصل ضرب نوشته شده است. **قانون ضرب عبارت‌های توان‌دار با توان‌های مساوی:** $$\text{برای ضرب عبارت‌های توان‌دار با توان‌های مساوی، پایه‌ها را در هم ضرب می‌کنیم و توان مشترک را برای حاصل ضرب می‌نویسیم.}$$ $$\mathbf{a^n \times b^n = (a \times b)^n}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 91 - فعالیت 2 در این فعالیت از قانون کشف شده در فعالیت ۱ استفاده می‌کنیم: **برای ضرب توان‌ها با توان‌های مساوی، پایه‌ها را در هم ضرب کرده و توان مشترک را می‌نویسیم: $a^n \times b^n = (a \times b)^n$**. ### ساده کردن عبارت‌ها 1. **$۲^۶ \times ۳^۶$:** * توان‌ها مساوی هستند ($۶$). پایه‌ها را ضرب می‌کنیم. $$۲^۶ \times ۳^۶ = (۲ \times ۳)^۶ = ۶^۶$$ 2. **$$\left(\frac{۲}{۳}\right)^۶ \times \left(\frac{۳}{۴}\right)^۶$$:** * توان‌ها مساوی هستند ($۶$). پایه‌ها را ضرب می‌کنیم و می‌توانیم ساده‌سازی انجام دهیم. $$\left(\frac{۲}{۳} \times \frac{۳}{۴}\right)^۶ = \left(\frac{۲}{۴}\right)^۶ = \left(\frac{۱}{۲}\right)^۶$$ 3. **$(-۲)^۵ \times ۳^۵$:** * توان‌ها مساوی هستند ($۵$). پایه‌ها را ضرب می‌کنیم. $$(-۲ \times ۳)^۵ = (-۶)^۵$$ 4. **$(-۲)^۷ \times (-۱)^۷$:** * توان‌ها مساوی هستند ($۷$). پایه‌ها را ضرب می‌کنیم. $$((-۲) \times (-۱))^۷ = (۲)^۷ = ۲^۷$$ 5. **$(-۳)^۵ \times ۳^۵$:** * توان‌ها مساوی هستند ($۵$). پایه‌ها را ضرب می‌کنیم. $$((-۳) \times ۳)^۵ = (-۹)^۵$$ * یا می‌توان نوشت: $$(-۳)^۵ \times ۳^۵ = - (۳^۵) \times (۳^۵) = -(۳ \times ۳)^۵ = -۹^۵$$ (زیرا توان فرد، علامت منفی را حفظ می‌کند، و در این حالت $-۳^۵$ برابر با $- (۳^۵)$ است. اما روش ساده‌تر ضرب پایه‌ها است.) 6. **$x^۲ y^۲$:** * توان‌ها مساوی هستند ($۲$). پایه‌ها را ضرب می‌کنیم. $$x^۲ y^۲ = (x \times y)^۲ = (xy)^۲$$ | عبارت | ساده شده | | :---: | :---: | | $۲^۶ \times ۳^۶$ | $۶^۶$ | | $$\left(\frac{۲}{۳}\right)^۶ \times \left(\frac{۳}{۴}\right)^۶$$ | $$\left(\frac{۱}{۲}\right)^۶$$ | | $(-۲)^۵ \times ۳^۵$ | $(-۶)^۵$ | | $(-۲)^۷ \times (-۱)^۷$ | $۲^۷$ | | $(-۳)^۵ \times ۳^۵$ | $(-۹)^۵$ | | $x^۲ y^۲$ | $(xy)^۲$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 91 - فعالیت 3 این فعالیت برعکس دو فعالیت قبلی است و به شما نشان می‌دهد که چگونه می‌توان یک عبارت توان‌دار را که **پایه‌اش حاصل ضرب دو یا چند عدد است**، به حاصل ضرب چند توان دیگر تجزیه کرد. این همان **خاصیت توزیع‌پذیری توان نسبت به ضرب** است. ### قانون توزیع‌پذیری توان نسبت به ضرب $$(a \times b)^n = a^n \times b^n$$ **توجه:** این قانون فقط برای **ضرب و تقسیم** معتبر است، نه برای جمع و تفریق. ### تجزیه عبارت‌ها 1. **$۱۵^۲$:** پایه ۱۵ را به صورت حاصل ضرب دو عدد (۳ و ۵) می‌نویسیم. $$۱۵^۲ = (۳ \times ۵)^۲ = ۳^۲ \times ۵^۲$$ 2. **$۱۰^۴$:** پایه ۱۰ را به صورت حاصل ضرب دو عدد (۲ و ۵) می‌نویسیم. $$۱۰^۴ = (۲ \times ۵)^۴ = ۲^۴ \times ۵^۴$$ 3. **$۱۲^۸$:** پایه ۱۲ را به صورت حاصل ضرب دو یا چند عدد می‌نویسیم (مثلاً ۳ و ۴ یا ۳، ۲، ۲). $$۱۲^۸ = (۳ \times ۴)^۸ = ۳^۸ \times ۴^۸$$ یا اگر بخواهیم پایه‌ها اول باشند: $$۱۲^۸ = (۳ \times ۲^۲)^۸ = ۳^۸ \times (۲^۲)^۸ = ۳^۸ \times ۲^{۱۶}$$ (در سطح این درس، تجزیه به عوامل غیر اول مثل $۳^۸ \times ۴^۸$ هم کافی است.) 4. **$(xy)^۵$:** پایه حاصل ضرب $x$ و $y$ است. $$(xy)^۵ = x^۵ y^۵$$ 5. **$(xyz)^۴$:** پایه حاصل ضرب $x$ و $y$ و $z$ است. $$(xyz)^۴ = x^۴ y^۴ z^۴$$ 6. **$۳۰^۵$:** پایه ۳۰ را به صورت حاصل ضرب عوامل اول (۲، ۳، ۵) می‌نویسیم. $$۳۰^۵ = (۲ \times ۳ \times ۵)^۵ = ۲^۵ \times ۳^۵ \times ۵^۵$$ | عبارت | تجزیه شده | | :---: | :---: | | $۱۵^۲$ | $۳^۲ \times ۵^۲$ | | $۱۰^۴$ | $۲^۴ \times ۵^۴$ | | $۱۲^۸$ | $۳^۸ \times ۴^۸$ | | $(xy)^۵$ | $x^۵ y^۵$ | | $(xyz)^۴$ | $x^۴ y^۴ z^۴$ | | $۳۰^۵$ | $۲^۵ \times ۳^۵ \times ۵^۵$ |